如果对于不少于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数是，n+1都能表示成k各完全平方数的和，求k的最小值

显示全部楼层 · 2010-8-9 10:31:44

答案有：由已知3n+1是一个完全平方数，
所以我们就设3n+1=a^2，
显然a^2不是3的倍数，于是a=3k±1，
从而3n+1=a^2=9k^2±6k+1,n=3k^2±2k
即n+1=2k^2+(k±1)^2，所以k的最小值是3.
不明白的地方：1.为什么a^2不是3的倍数，那么a=3k±1
2为什么n=3k^2±2k

3.“n+1都能表示成个k完全平方数的和”这个条件可以得出什么？
4.为什么n+1=2k^2+(k±1)^2，所以k的最小值是3.

千问 · 2010-8-9 10:31:44

1.3n+1=a^2,a如果是3的倍数，a^2就是3的倍数，左边3n+1不是3 的倍数，左右两边会相等吗？2.3n+1=9k^2±6k+1，两边都减1，再都除以3得，n=3k^2±2k 。3.此句不明白，如n=8时，3n+1=25,是完全平方数，n+1=9=4+4+1;n=16时，3n+1=49，是完全平方数，而n+1=17=4+4+4+4+1=9+4+4。k的最小值是8。