15．已知C0：x2＋y2＝1和C1：x2／a2＋y2／b2＝1（a＞b＞0）

显示全部楼层 · 2013-10-22 13:00:56

15．已知C0：x2＋y2＝1和C1：x2／a2＋y2／b2＝1（a＞b＞0），那么，当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点、与C0外切、与C1内接的平行四边形？并证明你的结论．

千问 · 2013-10-22 13:00:56

15．所求条件为1／a2＋1／b2＝1．证明如下：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心．假设结论成立，则对点（a，0），有（a，0）为顶点的棱形与C1内接，与C0外切．（a，0）的相对顶点为（－a，0），由于菱形的对角线互相垂直平分，另外两个顶点必在y轴上，为（0，b）和（0，－b）．菱形一条边的方程为x／a＋y／b＝1，即bx＋ay＝ab．由于菱形与C0外切，故必有，整理得1／a2＋1／b2＝1．必要性得证．充分性：设1／a2＋1／b2＝1，P是C1上任意一点，过P、O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦QS，则PQRS为与C1内接的菱形．设｜OP｜＝r1，｜OQ｜＝r2，则点P的坐标为（r1cosθ，r1sinθ