试求函数f(x)=sinx+cosx+2asinxcosx,在x∈[0，π/2]上的最小值h(a)

显示全部楼层 · 2010-8-10 21:19:52

帮帮忙,真的很急

千问 · 2010-8-10 21:19:52

先求导：f'(x)=cosx-sinx+2acos2x-2asin2x
=cosx-sinx+2a(cosx-sinx)(cosx+sinx)
=2a(cosx-sinx)(cosx+sinx+1)因为在【0，π/2】上，cosx sinx都>1,所以它们相加再加1不可能等于0，所以是cosx-sinx=0,即cosx=sinx,此时x=π/4当a=0时，最小值在x=0或x=π/2时取得，为1。当aπ/4时，f'(x)>0,递增
将x=π/4代入原式f(x)即为此时的最小值h

千问 · 2010-8-10 21:19:52

令sinx+cosx=√2sin（π/4+x）=t∈【0,√2】（sinx+cosx）^2=1+2sinxcosxf(x)=t+a*（t^2-1)
=at^2+t-a
=a(t+1/2a)^2-5/4aa>0时显然t=0时有最小值h（a）=-5/4aa=0时 f（x）=t最小值h（a）为-√2