高三数学~在线等

显示全部楼层 · 2011-3-11 22:05:52

已知线段AB的两个端点分别为A（0,1），B（1,0）。P（x, y）为线段AB上不与端点
重合的一个动点，则（x+1/x)(y+1/y) 的最小值为？
答案是25/4。求解答。感谢！~

千问 · 2011-3-11 22:05:52

问题可化为当x+y=1,(x,y∈R+)时，求(x+1/x)(y+1/y)的最小值。解：（一）不妨设0＜x≤y＜1.易知有0＜x+(1/x)≤y+(1/y).===>0＜[x+(1/x)]2≤[x+(1/x)][y+(1/y)].等号仅当x=y=1/2时取得。（二）∵0＜x≤1/2,∴x+(1/x)≥5/2.等号仅当x=1/2时取得。∴（x+1/x)(y+1/y)≥(x+1/x)2≥25/4.等号仅当x=y=1/2时取得。∴（x+1/x)(y+1/y)min=25/4.【在这里，将x换为y,y换为x,结果一样。故仅需讨论0＜x≤y＜1的情况，对0＜y≤x＜1的情况同理。这就是轮换的意义。】

千问 · 2011-3-11 22:05:52

解：1.这题直接分析有些麻烦，于是考虑用建系的方法。以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系。设正方体棱长为1。则A1（1，0，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），B（1，1，0），P（a，1，a）（0≤a≤1）由题易证得向量D1B（1，1，-1）为平面A1C1D的一个法向量。A1P（a-1，1，a-1