设a,b,c是三个不同的整数，f(x)是整系数多项式，求证：不可能同时有f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a

显示全部楼层 · 2010-8-19 21:32:18

假设有f（a）=b,f（b）=c,f(c)=a.依题意显然有a-b|b-c,a-c|b-a,a-b|c-a,由于是轮换对称式，只需设a＞b＞c,或者a＞c＞b,只证明a＞b＞c，剩下的同理，那么有b-c≥a-b≥a-c≥a-b,a-b=a-b,于是a-b=a-c,b=c,这与a,b,c是三个不同的整数矛盾

千问 · 2010-8-19 21:32:18

反证法。不失一般性，我们设a<b<c让f(x)=p(n)*x^n+p(n-1)*x^(n-1)+...+p(1)*x+p(0) p(n),p(n-1),...,p(0)是整数于是我们有：f(c) - f(a)=a - b并且将c和a代入f(x)的表达式之后，我们得到f(c)-f(a)=（c-a)*N （N为某个整数，你自己带进去化简下

千问 · 2010-8-19 21:32:18

f(a)=b,f(b)=c 相减得到a-b整除b-cf(b)=c,f(c)=a相减得到b-c整除c-af(c)=a,f(a)=b相减得到c-a整除a-ba-b整除b-c,b-c整除c-a,c-a整除a-b得到a-b=b-c=c-a=a-b可以推出a=b=c.矛盾。