设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列。请按照我的思路来做。

显示全部楼层 · 2011-3-27 18:31:19

设数列an的前n项和为sn,对于所有的自然数n都有sn=n(a1+an)/2,求证an是等差数列。
我的思路为 an=sn-sn-1
再把an-1 的表达式求出来
在用定义an-an-1=d来求证。按照这个思路来做。把过程写清楚。（我算出来的不对。）

千问 · 2011-3-27 18:31:19

an=sn-sn-1=[n(an-an-1)+(a1+an-1)]/2;an-1=sn-1-sn-2=[(n-1)(an-1-an-2)+(a1+an-2)]/2.an-an-1=[n(an-2an-1+an-2)+2(an-1-an-2)]/2所以：2(an-an-1)-2(an-1-an-2)=n(an-2an-1+an-2)2(an-2an-1+an-2)=n(an-2an-1+an-2).上式括号内相同，但系数不等，所以只有当：an-2an-1+an-2=0时成立，所以：2an-1=an+an-2,故为等差数列。

千问 · 2011-3-27 18:31:19

可是人家是让你证明这是等差数列啊你用an-an-1=d的话就是既定它是等差数列来做了不能这样设啊其实一楼的是对的啊你只要把最后一行改成an+1-an=an-an-1=d就行了嘛

千问 · 2011-3-27 18:31:19

s1=a1 s2=a1+a2
s3=a1+a2+a3=3÷2×（a1+a3)
2a2=a1+a3同理可得
a1+a4=a2+a3.......所以是等差数列

千问 · 2011-3-27 18:31:19

an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/22an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1 (1)同理(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)(1)-(2)得到(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)2a