证明一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)最多有两个不相等的根

显示全部楼层 · 2010-10-8 23:08:27

假设一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）至少有三个互不相等的实根设三个根分别为r，s，t，则r≠s，s≠t，t≠r，且ar2+br+c=0，①as2+bs+c=0，②at2+bt+c=0，③①－②，得(r-s)[a(r+s)+b]=0，∵r≠s，∴a(r+s)+b=0，④②－③，得(s-t)[a(s+t)+b]=0，∵s≠t，∴a(s+t)+b=0，⑤④－⑤，得a(r-t)=0，∴a=0，或r=t，与a≠0且t≠r矛盾，∴假设不成立，一元二次方程ax2+bx+c=0，（a≠0）至多有两个不相等的实根

千问 · 2010-10-8 23:08:27

证明：ax^2+bx+c =x^2+bx/a+c/a =x^2+bx/a+(b/2a)^2-(b/2a)^2+c/a =(x+b/2a)^2-b^2/4a^2+c/a=0 (x+b/2a)^2=b^2/4a^2-c/a (x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2 x+b/2a=±√(b^2-4ac) /2a x=[-b