已知函数f(x),x∈R,若对任意实数a,b都有f(a+b)=f(a)+f（b），求证：f（x）为奇函数。

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千问 | 2010-9-27 20:28:49 | 显示全部楼层

首先证明f(0)=0设a=b=0 则2f(0)=f(0) 推出f(0)=0然后设a=-b 则f(0)=f(x)+f(-x) 对任意x∈R成立证毕

千问 | 2010-9-27 20:28:49 | 显示全部楼层

哦哦哦

千问 | 2010-9-27 20:28:49 | 显示全部楼层

证明：由题设可知，当a=b=0时，有f(0)=f(0)+f(0).∴f(0)=0.∴当a+b=0时，有f(0)=f(a)+f(-a).即f(a)+f(-a)=0.即f(x)+f(-x)=0.∴函数f(x)为奇函数。

千问 | 2010-9-27 20:28:49 | 显示全部楼层

令a=b=0,可得f(0)=0令a=x,b=-x,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0所以，f(-x)=-f(x)故f(x)为奇函数。

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