数学归纳法中的“跨度”问题数学高手火速来！！

显示全部楼层 · 2011-4-4 17:40:55

用数学归纳法证明1-1/2+1/3-1/4+……+1/(2n-1)+1/2n=1/n+1+1/n+2+……+1/2n.
解题过程是①n=1时,…………,等式成立
②假设n=k使等式成立则……
n=k+1时，
分析上说“左边增加了两项，右边增加一项”
1-1/2+1/3-1/4+……+1/(2k-1)-1/2k+1/(2k+1)-1/(2k+2)=
…………+1/(2k+1)-1/(2k+2）
这个式子怎么回事
我相信高手听得懂我说什么。。帮忙解释一下吧谢谢

千问 · 2011-4-4 17:40:55

把前几个式子写出来你就会明朗了n=1时，1 - 1/2 = 1/2n=2时，1 - 1/2 + 1/3 -1/4= 1/3 +1/4n=3时，1 - 1/2 + 1/3 -1/4 +1/5 -1/6 = 1/4 + 1/5 + 1/6。。。。。。n=k时，1 - 1/2 + 1/3 -1/4 +。。。+1/（2k-1）-1/2k =1/（k+1）+1/（k+2）+。。。+1/2kn=k+1时，1 - 1/2 + 1/3 -1/4 +。。。+1/（2k-1）-1/2k+1/【2（k+1）-1】- 1/2（k+1）
= 1/（k+2）+ 1/（k+3）。。。+1/2（k+1）明白了吧，嘿嘿

千问 · 2011-4-4 17:40:55

地k+1时的等式减去k时的等式，就得到了两遍多余的项，在证明两边多余的相等即可

千问 · 2011-4-4 17:40:55

左边通项公式为1/(2n-1)-1/2n右边通项公式为1/2n当n=k+1时，等式左边增加的是1/2(k+1)-1/2(k+1)
等式左边增加的是1/2(k+1)

千问 · 2011-4-4 17:40:55

实际上左边增加了1/(2k+1)-1/(2k+2)两项而右边增加了1/2k+1+1/2k+2而减少了1/k+1项即证明 1/(2k+1)-1/(2k+2）=1/2k+1+1/2k+2-1/k+1所以“分析上说“左边增加了两项，右边增加一项”” 有误

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