如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，

显示全部楼层 · 2011-4-4 19:47:21

连结BP交AC于点F。
求线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E和点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△abc和S△abg，如果存在点P，能使S△abc＝S△abg，求角ACB的取值范围

千问 · 2011-4-4 19:47:21

解：由题意知角C可能为锐角，直角，钝角 a。当角C为直角时，由勾股定理知BG =（根号（BC*BC+CG*CG）），这BG一定大于BC，则G点一定在HC延长线上，这样SABC一定不等于SABG。所以角C不等于90度 b。当角C为钝角时，在AC延长线上作三角形ABC的高BM，M为垂足。由勾股定理，此时有同样有BG一样大于BC，则G点一定在HC延长线上，这样SABC一定不等于SABG。所以角C不能为钝角。 c。当角C为锐角时，在AC上作三角形ABC的高BM，M为垂足，此时BM一定小于BC。因此BG的可能长度在BC和BA与BC取最大的一个之间。即BC不大于BG，且BG小于BA和BC中最大的一个。而SABC=SABG，即在AC边（不包括端点A和C）上，存

千问 · 2011-4-4 19:47:21

设AE=AC,BF=BC,则S△ABG=S△ABC,∠ACB=∠AEC>∠ABC,同理∠ACB>∠BAC,所以60°<∠ACB<90°.

千问 · 2011-4-4 19:47:21

（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．又∵CP=CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．（2）证明：∵∠ACE=∠BCF，∠CAE=∠CBF，AC=BC，∴△ACE≌△BCF．∴AE=BF．（3）解：由（2）知△ABG是以AB为底边

千问 · 2011-4-4 19:47:21

不难证明AE=BF三角形ABC与三角形ABG的面积相等所以AE=AC∠AEC=∠ACB
①因为∠AEC=∠ABC+∠BAE,且P是线段CH上不与端点重合所以∠AEC＞∠ABC
②∠ABC=(180°-∠ACB)/2
③综合①②③可得:∠ACB ＞(180°-∠ACB)/2
∠ACB ＞60°