已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1，F2，半焦距为c,过F1作椭圆的弦F1M，并延长至N，使|MN|=|MF

显示全部楼层 · 2011-4-5 15:37:28

已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的左右焦点分别为F1，F2，半焦距为c,过F1作椭圆的弦F1M，并延长至N，使|MN|=|MF2|，求证N的轨迹为圆，并求其方程

千问 · 2011-4-5 15:37:28

解答因为|MN|=|MF2|,M为椭圆上的点，F1和F2为焦点所以|MF1|+|MF2|=|NF1|=2a(椭圆定义)设F点的坐标为(x,y),那么（x+c）2+y2=4a2c和a均为常数，那么N点的轨迹是圆，圆方程为（x+c）2+y2=4a2得证

千问 · 2011-4-5 15:37:28

求证N的轨迹为圆，也就是说求证F1N为定值。因为|MN|=|MF2|,也就是求MF1+MF2为定值。设M（x,y）因为M点在椭圆上，所以x,y满足 x^2/a^2+y^2/b^2=1
我们有F1（-c,0）.F2(c,0)我们可以设x=asinθ y=bcosθ 则MF1+MF2=根号下【(asinθ+c)2+（bcosθ）&