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怎么证明根号（7除以5）是无理数

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查看11 | 回复1 | 2010-10-27 14:18:06 | 显示全部楼层 |阅读模式
假设根号(7/5)是有理数，故存在互素的整数p、q，使得根号(7/5)=p/q。所以，7q^2=5p^2。由上式可看出7q^2是5的倍数，即5可以整除7q^2。因为5与7互素，故5整除q^2。如果5不能整除q，则5不能整除q^2。因此，5必能整除q，即q=5m，m为整数。同理可得，7能整除p，即p=7n，n为整数。故7/5=p^2/q^2=(7n)^2/(5m)^2。所以，5/7=n^2/m^2。重复以上步骤可推得，n=5u,m=7v,u、v都是整数。那么，p=7n=7(5u)=35u,q=5m=5(7v)=35v。所以，p、q有公约数35，与假设p、q互素矛盾。
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