an=n/(n+1) 证明:ln(1/an)<(1/n) 在线等答案.

显示全部楼层 · 2011-4-9 00:11:50

法1构造函数利用单调性不防记f(t)=ln(1+t)-t,t>=0f'(t)=1/(1+t)-1=-t/(1+t)0得到f(t)在(0,+∞)单调递减,又f(t)可在t=0处连续,则f(t)0即ln(1+t)0我们取1/n(>0)替换t有ln[(n+1)/n]0,显f(x)在[x,x+1]上满足拉格朗日中值定理条件则存在ξ∈(x,x+1)使得ln[(x+1)/x]=ln(x+1)-lnx=f(x+1)-f(x)=f'(ξ)[(x+1)-x]=1

千问 · 2011-4-9 00:11:50

就是上图中的答案

千问 · 2011-4-9 00:11:50

即证明ln(1+1/n)x>0)设f(x)=x-ln(1+x),则 f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0 ,f(x)为（0，+∞）上的增函数，所以x>0时，f(x)>f(0)=0-ln1=0 所以x>ln(1+x) 所以 ln(1+1/n)<1/n 更有 1+1/

千问 · 2011-4-9 00:11:50

ln(1/an)-1/n=ln(1+1/n-e^(1/n))因为当0<x<=1时，x<e^x所以1/n-e^(1/n)<0ln(1+1/n-e^(1/n))<0ln(1/an)<(1/n)