己知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，对于点a满足f(1)=e^(1-a^2)·f（a），a∈[0,1/n].证明

显示全部楼层 · 2011-4-26 14:32:07

己知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导，对于点a满足f(1)=e^(1-a^2)·f（a），a∈[0,1/n].证明至少存在一点ξ∈(0,1) 使得f'(ξ)=2ξf(ξ)

千问 · 2011-4-26 14:32:07

证明：令F(x)=e^(1-x^2)·f(x)，则F(0)=f(1)=e^(1-a^2)·f(a)=F(a)由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0,a)属于(0,1) 使得F'(ξ)=0又F'(x)=-2xe^(1-x^2)·f(x)+e^(1-x^2)·f'(x)=[f'(ξ)-2ξf(ξ)]e^(1-x^2)即至少存在一点ξ∈(0,1) 使得f'(ξ)=2ξf(ξ)