在三角形ABC中已知a^2tanB=b^2tanA试判断三角形ABC的形状

显示全部楼层 · 2008-6-21 21:54:08

高中数学

千问 · 2008-6-21 21:54:08

解:tanB = sinB/cosB =(2S/ac)/[(a^2+c^2-b^2)/2ac] tanA = sinA/cosA =(2S/bc)/[(b^2+c^2-a^2)/2bc] a^2tanB/(b^2tanA) = 1 a^2/(a^2+c^2-b^2) = b^2/(b^2+c^2-a^2) a^2c^2-b^2c^2 = a^4-b^4 c^2 = a^2+b^2 △ABC为直角三角形，∠C=90° ∠A+∠B=90° ∠C=90°则三角形ABC是直角三角形

千问 · 2008-6-21 21:54:08

解：由正弦定理以及将正切化为正弦除以余弦化简整理得sin2A=sin2B2A=2Bor2A=π-2BA=BorA+B=π/2ABC为等腰三角形或直角三角形

千问 · 2008-6-21 21:54:08

a^2tanb=b^2tana,sin2atanb=sin2btana,sinacosa=sinbcosb,sin2a=sin2b,a=b,or2a=π-2b,a=b,ora+b=π/2,三角形abc的形状为等腰三角形或直角三角形。

千问 · 2008-6-21 21:54:08

a2/b2=tanA/tanBa/sinA=b/sinB所以a2/b2=sin2A/sin2B=(sunA/cosA)/(sinB/cosB)sinA/sinB=cosB/cosAsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B所以2A=2B或2A=180-2BA

千问 · 2008-6-21 21:54:08

a^2/b^2=tanA/tanB(sinA/sinB)^2=sinAcosB/cosAsinBsinAcosA=sinBcosBsin2A=sin2B2A=2Bor2A=π-2BA=BorA+B=π/2ABC为等腰三角形或直角三角形