请教一个数学公式

显示全部楼层 · 2008-6-25 13:43:48

2^1代表2的一次方
请问：
2^1+2^2+2^3+…+2^n等于多少？
如果可以的话，麻烦您顺便告诉我，怎样证明上式必然小于2^(n+1)呢？我忘记了，谢谢，回答第一条就给分，呵呵

千问 · 2008-6-25 13:43:48

这是等比数列。等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)即是2^1+2^2+2^3+…+2^n=2(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2则上式必然小于2^(n+1)再看一下http://baike.baidu.com/view/62282.htm

千问 · 2008-6-25 13:43:48

2^1+2^2+2^3+…+2^n=2^n-1小于2^(n+1)用原式加上2^1：2^1+2^1+2^2+2^3+…+2^n=2^(n+1)所以2^1+2^2+2^3+…+2^n小于2^(n+1)

千问 · 2008-6-25 13:43:48

上式的值等于2^(n+1)-2可以用等比数列求和公式做也可以用数学归纳法证明

千问 · 2008-6-25 13:43:48

等比数列求和，原式=2*(1-2^n)/(1-2)=2^(n+1)-2<2^(n+1)

千问 · 2008-6-25 13:43:48

等比数列求和，Sn=2^(n+1)-2.明显小于2^(n+1)