从任意一个数列中必可找到一个单调的子列

显示全部楼层 · 2008-7-12 14:56:58

请严格证明，并在大学数学分析知识范围内，好的追加。

千问 · 2008-7-12 14:56:58

证明:设有序列{an},来证明存在{an}的单调子列{bn}.1.若{an}无界,不妨设其无上界,则可如下构造子列:b1=a1,由于{an}无上届,故存在N使得aN>a1,记b2=aN.同理存在aM>aN,记b3=aM.依次续行即可构造单增序列{bn}.若{an}无下届,可按上法类似构造单减序列.2.若{an}有界,由于其一定有收敛子列,可以假设{an}收敛到实数A.将数轴划分成3个区域:小于A,大于A,等于A.这3个区域中至少有一个包含{an}中无穷多个点.i如果在等于A这个区间中有无穷多个点,则构造常数列bn=A即可.ii 若有无穷多个点在小于A的区间内,则这些小于A的项可构成新数列{a'n}并且

千问 · 2008-7-12 14:56:58

我想想…考虑集合A={an|对任意的N>n，有an>aN}。若A是一个无限集，那么由A中元素按下标从小到大排列就可以得到一个递减的子列，若A是个有限集，也就是说，存在一个M，使得当n>M时，an以后的项中至少有一项不小于an，那么我们就可以先取an1，n1>M，由前面的讨论知道，应该有一个n2，使得an2>=an1，这样依次下去，就得到了{an}的递增的子列