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设m、n∈R+，且m≠n，求证：(m-n)/(ln m-ln n) < (m+n)/2。

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查看11 | 回复2 | 2011-5-2 09:36:10 | 显示全部楼层 |阅读模式
不妨设m>n，不等式等价于：(ln m-ln n)/(m-n) >2/(m+n)而y=lnx的图像为上凸函数，即两点间（图像上横坐标为m,n的点）连线的斜率一定大于其中点（图像上横坐标为m,n的中点的点）处切线的斜率，即为上面的不等式
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千问 | 2011-5-2 09:36:10 | 显示全部楼层
[ln(x)]=1/x>0，[ln(x)]''=-1/x?0?5<0 ，所以 ln(x) 在 (0,+∞) 上是严格单调增加的上凸的函数，所以 [m/(m+n)]*ln(n)+[n/(m+n)]*ln(m) ≤ ln{[m/(m+n)]*n+[n/(m+n)]*m} = ln[2mn/(m+n)] ≤ ln[(m+n)/2]，即
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