求该函数极限

显示全部楼层 · 2011-5-17 23:00:52

令f(n)=1+1/2+1/3+1/4+...1/n
那么:lim(n趋于无穷大) f(n)极限存在吗?
若存在求其极限若不存在请证明.

千问 · 2011-5-17 23:00:52

上面不对！我们注意到这样一个事实ln(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n) =ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n] =ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1) 由于 lim Sn（n→∞）≥lim ln(n+1)（n→∞）=+∞ 所以Sn的极限不存在，即调和级数发散。

千问 · 2011-5-17 23:00:52

假设f(n)收敛于s
则f(n)→s(n→∞)
且f(2n)→s(n→∞)f(2n)-f(n)=1/n+1+1/n+2+...1/n+n>1/2n+1/2n+1/2n+....1/2n=1/2与上面矛盾了：f(n)→s(n→∞) f(2n)→s(n→∞)f(2n)-f(n)→0故假

千问 · 2011-5-17 23:00:52

1+1/2+1/3+1/4+...1/n = ln(n+1) + r
r,euler常数，约为0.577218ln(n+1)无界……