ABCD是矩形,PA垂直平面ABCD,PA=AD=a,AB=根号2a，E、F分别是PD、AB上的点

显示全部楼层 · 2011-5-18 12:41:27

且PE比ED=BF比FA=2分之1，求直线EF与平面ABCD所成角的正弦值

千问 · 2011-5-18 12:41:27

解：在AD上取点M，使AM:MD=1:2,在AB上取点N，使BN：NA=1：2，连接MN，在△PAD中，因为PE：ED=AM：MD=1：2
所以 EM||PA,且EM=（2/3）PA=2a/3 ,AM=(1/3)AD=a/3
又因为PA⊥平面ABCD ，所以EM⊥平面ABCD，所以EM⊥MN，
∠ENM为直线EF与平面ABCD所成的角
因为ABCD是矩形，A为直角，AN=（2/3）AB=√2a/3 AM=a/3
所以MN=√(AM^2+AN^2)= √3a/3

千问 · 2011-5-18 12:41:27

遇到这类问题我们一般做镜像,也就是做轴对称,作B点关于AC的对称点E,连接AE交CD于F,连接CE,过E作EN垂直AB交CD于G交AC于M,连接MB,所以BM＋MN＝NM＋EM，显然EN垂直AB时值最小．由于CEF为直角三角形,CF=AF,CF+EF=AE=20;CE=10;所以CE=12.5,EF=7.5,直角三角形EFC斜边高EG=6,所以EN=BC

千问 · 2011-5-18 12:41:27

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