一道关于集合的题目

显示全部楼层 · 2008-7-15 21:32:23

对于函数y=f（x），若f（x）=x，则称x为函数y=f（x）的“不动点”；对于函数y=f（x），若f[f（x）]=x，则称x为函数y=f（x）的“稳定点”。记函数y=f（x）为“不动点”和“稳定点”的集合分别为A和B，既A={x│f（x）=x}，B={x│f[f（x）]=x}.
⑴求证A属于B
⑵若f（x）=ax^2-1(a∈R,x∈R).且A=B≠Φ,求实数a的取值范围。

千问 · 2008-7-15 21:32:23

1)证明：任取x属于A，则f[f(x)]=f(x)=x,所以x属于B，所以A包含于B，证毕。2）由1),a只需满足B包含于A，即当f[f(x)]=x时，有f(x)=x，亦即当a(ax^2-1)^2-1-x=0时有 ax^2-1-x=0。因为a(ax^2-1)^2-1-x=(ax^2-x-1)[a^2*x^2+ax-(a-1)]所以只需证（ax^2-x-1)[a^2*x^2+ax-(a-1)]=0时必有ax^2-x-1=0这等价于：对任意x有a^2*x^2+ax-(a-1)不等于0即判别式a^2-4*a^2*(-(a-1))=a^2(4a-1)<0即a<1/4又A非空所以方程ax^2-1=x

千问 · 2008-7-15 21:32:23

集合元素具有互异性、确定性跟有序性、所以2,(a+1)平方,a平方+3a+3三个互不相等所以列式三个中至少两个相等的情况解得（1）a≠-1+根号2且a≠-1-根号2（2）a≠-2（3）a≠（-3/2）+0.5*（根号5）且a≠（-3/2）-0.5*（根号5）最后答案综上就是了取并集