高考数学

显示全部楼层 · 2008-8-5 12:09:14

在数列{an}中，a1=1, an+1=2an+2^n.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn ．
详细过程
不要用数学归纳法先猜后证
用待定系数法证
an:数列的第n项
an+1:数列的第n＋1项
2^n：2的n次方

千问 · 2008-8-5 12:09:14

an+1=2an+2^n即 an+1-2an=2^n
1) an-2an-1=2^（n-1）两边乘以2得2an-4an-1=2^n
2)an-1-2an-2=2^(n-2）两边乘以2^2得4an-1-2^3an-2=2^n
3）……
……a2-2a1=2两边乘以2^（n-1）得2^（n-1）a2-2^na1=2^n
n)将1）+2）+3)+……+n)得到an+1-2^na1=n*2^n 即an+1=(n+1)2^n 故an=n*2^(n-1)前n

千问 · 2008-8-5 12:09:14

我已经做出来,但是不知道怎么弄2的n次方,所以用2'代替2的n次方,用2''代表2的n减1次方,用2'''代表2的n减3次方,以此类推啊an+1=2an+2'nan=2an-1+2''(n-1)
乘以2an-1=2an-2+2'''(n-2)
乘以2的2次方...a2=2a1+2
乘以2的n减1

千问 · 2008-8-5 12:09:14

1．把2^n.除过去，然后构造新数列，新数列是一个公差为2，首项为1的等差数列，即可求通项公式2．错位相减即可求Sn

千问 · 2008-8-5 12:09:14

an=1-2^n(当n不等于1）当n等于1a1=1(2)sn=a1+a2+a3+a4.....+an
=a1+1-2^1+1-2^2+.....+1-2^n
=1+...+1-(2^1+2^2+......+2^n)
=n+1-2+2^(n+1)

千问 · 2008-8-5 12:09:14

先猜后证