P是正方形ABCD所在平面外一点，PB垂直于平面ABCD，PB=BC，求PC与BD所成角

显示全部楼层 · 2008-7-25 15:31:43

PB垂直于平面ABCD，PB=BC设正方形边长是 1根据勾股定理PC=根号2延长AD 到 M DM长度为X,连接CM则BD和MD 平行,且CM=根号2PC与BD所成角,就是 PC与MD的夹角BM=根号(2*2+1)=根号5PM=根号(5+1)=根号6在三角形PMC中应用余弦定理设PC与BD所成角为X有6=2+2-2*2cosXcosX=-1/2X=120度

千问 · 2008-7-25 15:31:43

推荐一种空间矢量的方法，设AB=a,B为原点（0，0，0，），AB、BC,BP分别为x、y、z轴，则P（0,0,a）,C(0,a,0),D(a,a,0),==>向量 PC=(0,a,-a),BD=(a,a,0)cos(PC,BD)=PC点乘BD/(|PC|*|BD|)=a^2/(2*a^2)=1/2==>(PC,BD)=120度即向量PC与B

千问 · 2008-7-25 15:31:43

以正方形ABCD的CD为边做新正方形CDEF，连接CE，PE设正方形ABCD边为aBD‖CE即PC与BD所成角为PC与CE所成角PC=a*根号2CE=a*根号2PE=a*根号6余玄定理知COS∠PCE=（2+2-6）/（2*2）=-1/2即PC与BD所成角为120度