证明题，求高手解答

显示全部楼层 · 2008-7-29 23:24:02

试证明：定义在对称区间（-a,a）(a>0)内的任意函数f(x),都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和。
希望答地详细点，谢谢。

千问 · 2008-7-29 23:24:02

设任意一个函数为f(x)定义在对称区间(-a,a)(a>0)内令g(x)= [ f(x) + f(-x) ] /2 把-x代替上式中的x，得到g(-x)=[f(-x)+f(-(-x))]/2=[f(-x)+f(x)]/2=g(x)所以g(-x)=g(x)，即g(x)是一个偶函数令m(x)= [ f(x) - f(-x) ] /2 用-x代替上式中的x，得到m(-x)=[f(-x)-f(-(-x))]/2=[f(-x)-f(x)]/2而-m(x)=[f(-x)-f(x)]/2所以m(-x)=-m(x)即函数m(x)是奇函数而f(x)=g(x)+m(x)所以f(x)可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和。

千问 · 2008-7-29 23:24:02

太厉害了

千问 · 2008-7-29 23:24:02

首先，函数只是一个非空数集到另一个非空数集的映射令奇函数为F（X），偶函数为G（X）现在有m在定义域内，其中m为任意的，我只需要证明F（m）和G(m)都存在就可以了令f(m)=a,f(-m)=b则f(m)=F(m)+G(m)f(-m)=F(-m)+G(-m)=-F(m)+G(m)所以F(m)=(a-b)/2
G(m)

千问 · 2008-7-29 23:24:02

聪明