已知实数a、b、c满足a+b+c=2，abc=4，求a、b、c中的最大者的最小值。请用均值代换来做，回答好加分。

显示全部楼层 · 2011-5-23 15:58:07

解：【1】不妨设a,b,c中的最大者是c,即a≤c且b≤c.结合c≤c，三式相加可得2=a+b+c≤3c.∴c≥2/3.即最大者c是正数。【2】由题设可得：a+b=2-c,且ab=4/c.∴由伟达定理可知，a和b是关于x的方程：x2-(2-c)x+(4/c)=0的两个根。∴判别式⊿=(2-c)2-(16/c)≥0.即有c2-4c+4-(16/c)≥0.∵c≥2/3，∴判别式不等式两边乘以c,可得：c3-4c2+4c-16≥0.===>c2(c-4)+4(c-4)=(c2+4)(c-4)≥0.===>c-4≥0.===>c≥4.∴c的最小值为4.

千问 · 2011-5-23 15:58:07

均值不等式一般只涉及两个变量，对于三个变量，首先要消去一个变量，由a+b+c＝2得c＝2-a-b，代入abc＝4并整理得ba^2-b(2-b)a+4＝0，△＝b^2(2-b)^2-16b≥0，即b*(b^2+4)(b-4)≥0，显然b＝0方程无解，所以b的范围是(-∞，0)∪[4，+∞），因为a、b、c是对称的，即将其中任意两个互换，不改变值的大小，所以a、

千问 · 2011-5-23 15:58:07

均值不等式一般只涉及两个变量，对于三个变量，首先要消去一个变量，由a+b+c＝2得c＝2-a-b，代入abc＝4并整理得ba^2-b(2-b)a+4＝0，△＝b^2(2-b)^2-16b≥0，即b*(b^2+4)(b-4)≥0，显然b＝0方程无解，所以b的范围是(-∞，0)∪[4，+∞），因为a、b、c是对称的，即将其中任意两个互换，不改变值的大小，所以a、

千问 · 2011-5-23 15:58:07

(1)设a最大,由题意必有a＞0，b+c=2-a,bc=4/a,于是b,c是方程x^2-(2-a)x+4/a=0的两实根则△=(a-2)^2-4*4/a≥0 去分母得a^3-4a^2+4a-16≥0, (a-4)(a^2+4)≥0 所以a≥4 又当a=4，b=c=-1即a，b，c中最大者的最小值为4（2）因为abc=4＞