数学高手进：如图，O是平行四边形ABCD对角线BD延长线上的一点，连接AO、CO，若∠1=∠2，证明：

显示全部楼层 · 2011-5-28 15:25:45

如图，O是平行四边形ABCD对角线BD延长线上的一点，连接AO、CO，若∠OAD=∠OCD，证明：平行四边形ABCD是菱形

千问 · 2011-5-28 15:25:45

用全等和四边形性质的话，此题似乎不太容易，给一个比较简洁的面积证法吧。以下用S(ABC)表示三角形ABC的面积。要用一个引理：共角(有一个角相等)的三角形面积比等于夹此角两边乘积之比。即：若三角形ABC与A'B'C'满足∠A=∠A'，则S(ABC)/S(A'B'C')=AB*AC/(A'B'*A'C'). 引理证明不难。不妨设A与A'重合，B'在直线AB上，C'在直线AC上。连B'C. 等高三角形面积之比=底边长之比，故有：S(ABC)/S(AB'C')=[S(ABC)/S(AB'C)]*[S(AB'C)/S(AB'C')]=(AB/AB')*(AC/A'C'). 现在看原题。由于OB平分AC, 故S(OAD)=S(OCD)...

千问 · 2011-5-28 15:25:45

可先证△AOD和△COD全等因为ABCD是平行四边形，所以∠ADB=∠CDB，所以∠ADO=∠CDO在△AOD和△COD中，因为∠1=∠2，∠ADO=∠CDO，OD=OD，所以全等所以AD=CD，所以ABCD是菱形...

千问 · 2011-5-28 15:25:45

因为ABCD是平行四边形，所以啊、AB=BC,角DAB=角DCB，所以角OAB=角OCB,又因为DB=DB,所以三角形DAB全等于三角形DCB,则AO=CO,所以三角形OAD全等于三角形OCD，所以AD=DC,所以平行四边形ABCD是菱形...

千问 · 2011-5-28 15:25:45

利用相似也可以证明;延长AD叫CD于F,延长DC交AB于E。证OC^2=OE×OF再证OA^2=OE×OF即可...