求最大正整数N,使得2^50+4^1015+16^N是一个完全平方数。

显示全部楼层 · 2011-6-14 18:40:17

N尽量大，2^50+4^1015+16^N=2^50+(2^2)^1015+(2^4)^N=2^50+2^2030+2^(4N)=(2^50)[1+2^1980+2^(4N-50)],1+2^1980+2^(4N-50)为完全平方数，1+2^1980+2^(4N-50)=1+2×1×2^1979+2^(4N-50),4N-50=2×1979,N=1002...

千问 · 2011-6-14 18:40:17

原式变为2^50*（1+2*2^1979+2^（1979*2）)此时是最大的完全平方数，求得此时N=1002，这个方法就是要往哪个方向凑出来就行了，呵呵...

千问 · 2011-6-14 18:40:17

2^50+4^1015+16^N=4^25+4^1015+4^2N=4^25[1+4^1000+4^(2N-25)]=4^25[1+4*4^999+4^(2N-25)]=4^25(1+2*4^999)^24^(2N-25)=4*(4^999)^2=4^19992N-25=1999N=1012...