数学问题

显示全部楼层 · 2008-8-29 12:51:47

f(n)=(1+1/n)^n
求证f(n)大于等于2小于3

千问 · 2008-8-29 12:51:47

首先，设f(x)=(1+1/x)^x, 两边取自然对数并微分得 [1/f(x)]*df(x)=ln(1+1/x)*dx-x*[1/(1+1/x)]*dx/x^2 化简 df(x)/dx=f(x)*[ln(1+1/x)-1/(1+x)] 对中括号里的部分再微分一次，x>1时所得值恒小于0，又f(x)恒大于0，可知其单调递减，又x=1时，中括号中部分为ln2-0.5>0,x趋向正无穷时，中括号中部分趋向0。故x在1和无穷之间时df(x)/dx恒大于零，即f(x)单调递增有定理证明数列与对应函数单调性相同（名称忘了，好像在高数1上）故数列(1+1/n)^n (n>1,且为整数)单调递增。 n=1时原式等...