在定义域每一点都连续而不可导的函数（分形几何图形除外）

显示全部楼层 · 2012-2-9 07:08:09

存在吗？

千问 · 2012-2-9 07:08:09

可以肯定的是这种函数是存在的。因为从可导的定义来说，左右导数相等，是函数可导的充要条件，显然这和每一点都连续是不等价的。至于特列，普通函数很难具有这个性质，还是大数学家们厉害，居然构造出了一个典型的函数：维尔斯特拉斯函数，即Weierstrassfunction。微积分的教程中提到过处处连续处处不可微的函数，最典型的例子便是维尔斯特拉斯函数。直观地看，除了孤立的点之外，似乎连续的函数都应该可导。古典观念认为，连续函数的不可导的点集合在某种意义上应当很小，比如说，测度为0。早期的数学家包括高斯都认为这是对的，一些书籍甚至把此看法当作定理，写了证明（现在看来，显然是不严格的，比如说他们可能只考虑了初等函数）。这可能是因为人们很少深入接触过，而且也很难画出或展现出那些变化极其复杂精细，拥有大量不可导点的函数图像。总之，当时的人们对点集结构，实数理论等等的认识还很肤浅。德国数学家维尔斯特拉斯（KarlWeierstrass，1815－1897）于1872年(可能在1861年已经构造，但1872年才正式发表）利用函数项级数构造出了人们认识到的第一个处处连续而处处不可导的函数，为上述猜测做了一个否定的终结：f(x)=∑b^ncos(a^nπx)，这里的∑表示对n取一切非负整数求和，而a为一正奇数，0b1。当ab满足一定条件,如ab13/2π时，可以证明函数处处连续却处处不可微。这个构造过程，连同处处不可导的证明，发表在维尔斯特拉斯的论文（\"KniglicheAkademiederWissenschaften”onJuly18,1872.）中。该函数因此被命名为Weierstrass函数。Weierstrass函数具有分形性质：任何局部的放大都具有与整体的某种相似性。尽管分形这个数学名词直到很晚之后才被使用。这个函数在每一个尺度上，都具有细节。因此放大每一个弯曲，都不能显示出图象越来越趋近于直线。不管多么接近的两点，函数都不是单调的。在肯尼斯.法尔科内的《分形集合的几何学》一书中，给经典的维尔斯特拉斯函数的毫斯道夫维数估计了上下限，该结果一般被认为是正确的、有价值的，但它并没有被严格证明。Weierstrass函数的构造方式有好几种。连分式等对于非线性数学物理也都有应用

千问 · 2012-2-9 07:08:09

1定义域内可导，如果定义域是闭区间，那么在两个端点值就不存在相应的右左因为一个函数在某点的极限若存在，则其在此点的左右极限皆存在且相等，所以赞同