设a、b为实数，对所有正整数n(≥2),a^n+b^n是有理数，证明：a+b是有理数

显示全部楼层 · 2011-7-8 10:31:02

证明：注意到a^(3n)+b^(3n)=(a^n+b^n)(a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n)若a^n+b^n=0，如果n是偶数，那么a=b=0，a+b=0为有理数；如果n为奇数，那么a^n=(-b)^n，得a=-b，即a+b=0为有理数若a^n+b^n≠0，a,b不都为0，那么a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n=(a^(3n)+b^(3n))/(a^n+b^n)，因为a^(3n)+b^(3n)，a^n+b^n均为有理数，所以a^(2n)+b^(2n)-a^nb^n为有理数，即a^nb^n=(ab)^n为有理数(n≥2)如果a,b中有一个为0，不妨设为a，那么b^n为有理数，b≠0，那么b=b^3/b^2为有理数，即a+b为有...

千问 · 2011-7-8 10:31:02

a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4+b^4-a^2xb^2)因为a^6+b^6、a^2+b^2是有理数所以a^4+b^4-a^2xb^2是有理数又a^4+b^4是有理数所以a^2xb^2是有理数从而ab是有理数再由a^3+b^3=(a+b)(a^2+b^2-axb)a^3+b^3、(a^2+b^2-axb)是有理数故...