请帮我看看我做的答案是否正确

显示全部楼层 · 2008-12-20 17:45:28

题目是:∫{[(x+1)^(1/2)]-1}/{[(x+1)^(1/2)]+1}dx
就是根号(x+1)减1除以根号(x+1)加1的不定积分
换元的过程是一样的:[(x+1)^(1/2)]=t,x=t^2-1
我的解法是∫(t-1)/(t+1) d(t^2-1)=∫t/(t+1) d(t^2-1) - ∫1/(t+1)d(t^2-1)
最后解出来的结果是:ln |t+1|-2t+C
答案的解答方法和我不一样:原式=∫[(t-1)/(t+1)]*2t dt

=2∫(t^2-t)/(t+1) dt

=2∫[t-2+(2/t+1)] dt
最后答案是t^2-4t+4ln|t+1|+C
积分的答案是不是唯一的?如果不是唯一的,那么我的做对了吗?
一楼的很有耐心,但是我想知道我做的答案正确吗?按照我的思路来做

千问 · 2008-12-20 17:45:28

∫{[(x+1)^(1/2)]-1}/{[(x+1)^(1/2)]+1} dx 分母有理化，即上下都乘以[(x+1)^(1/2)]-1 =∫[(x+1)^(1/2)-1]^2dx =∫[x+1-2(x+1)^(1/2)+1]dx =∫[x+2-2(x+1)^(1/2)]dx =∫(x+2)dx-2∫(1+x)^(1/2)dx 对于前一个积分∫(x+2)dx=(1/2)x^2+2x+C1 后一个积分-2∫(1+x)^(1/2)dx 令u=1+x du=dx -2∫(1+x)^(1/2)dx =-2∫u^(1/2)du =-2*(2/3)u^(3/2)+C2 =-(4/3)(1+x)^(3/2)+C2 ...