ln(1+x+x^2)当x-0时为什么不能用等价无穷小替换

显示全部楼层 · 2009-1-8 14:34:52

题目是:ln(1+x+x^2)-ln(1-x+x^2)这是分子分母是x(1-cosx)当x-0时求它的极限??

千问 · 2009-1-8 14:34:52

等价无穷小代换不能随便乱用，一般来说，如果该项是参与乘法或者除法运算的话就可以用，例如 lim[x->0,ln(1+x)/sinx] 这时ln(1+x)是x的等价无穷小，sinx是x的等价无穷小，所以都可以换过来 lim[x->0,ln(1+x)/sinx]=lim[x->0,x/x]=1. 如果是参加加法减法甚至是乘幂等运算，这时视情况而定，但是，对于数学来说，如果一种方法有时有效，有时失效的话，就最好不要用，否则很容易出错，例如 lim[x->0,(x-sinx)/x^3] 如果把sinx换成x，得到极限值为0，那就错了，你用两次洛比达法则可以求一下这个极限 lim[x->0,(x-sinx)/x^3]=lim[x->0...

千问 · 2009-1-8 14:34:52

由洛必达法则lim(ln(1+x)+x^2)/2=lim(1/(1+x)+2x)当x趋于0第二个极限可以用x=0带入得1根据等价无穷小的定义，相除极限为1，所以是等价无穷小...

千问 · 2009-1-8 14:34:52

可以为什么不能 ln(1+x+x^2)～x+x^2 ln(1+x+x^2)～(x+x^2)-1/2(x+x^2)^2+o(x^3) 同样展开另外的一个: ln(1-x+x^2)～(-x+x^2)-1/2(-x+x^2)^2+o(x^3), 分母-1/2x^3+o(x^3), 结果 ∞下面用洛比达法则求:原式...