设向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4，a4不能由a1,a2,a3线性表示，证明：向量组a1,a2,a3的秩小于3

显示全部楼层 · 2009-6-23 17:26:31

设向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4，a4不能由a1,a2,a3线性表示，证明：向量组a1,a2,a3的秩小于3.
请大家教教我这道题目怎么做

千问 · 2009-6-23 17:26:31

a1,a2,a3,a4的秩小于4，说明这4个向量线性相关，所以4个向量对应的系数不全为0，至少有一个向量可以被其他向量表示，而能被其他向量表示的这个向量的系数一定不为0，根据这个向量可以移到方程右边，还要在左边除以他对应的系数而除数不能为0，但a4不能被另3个表示，说明a4对应的系数为0，又这4个向量的系数不全为0，所以前3个向量里必有一个向量系数不为0，所以a1,a2,a3线性相关，所以秩小于3我是大一数学系的，现在也在学这个，挺难的，我们一起加油！...

千问 · 2009-6-23 17:26:31

反证若a1,a2,a3线性无关，又a4不能由a1,a2,a3线性表示，则向量组a1,a2,a3,a4都线性无关，向量组的秩为4，这与向量组a1,a2,a3,a4的秩小于4矛盾，则原假设不成立，a1,a2,a3必线性相关，即向量组a1,a2,a3的秩小于3....