高数: 为什么散度和梯度不一致?

显示全部楼层 · 2009-7-13 18:38:32

已知，一个向量场是圆形的
f(x,y)=x^2+y^2
那么在同一个球面上的两个点，(3,4)处的梯度是(6i+8j)，在(5,0)处的梯度是(10i+0j)，这两个梯度的模相等，很容易理解。
但是这两点的散度不相等(偏导数相加)，一个是7一个是5。既然这两个点在圆周，那么为什么梯度相同但是散度不同? 散度代表了什么不同的几何或者物理的意义吗?

千问 · 2009-7-13 18:38:32

首先，这个函数不是圆形的，如果画在3维坐标系上，是个抛物线形曲面，不知道你个圆形是怎么理解出来的。其次你原函数里连向量符号都没有，根本就不是向量场。也就没有散度。要做散度，那我只能理解为f(x,y)=x^2i+y^2j如果是这样，那么这2个点的散度分别是14和10。散度的意义粗糙的理解是，在一个点附近射出向量数与射入向量数的差。这和梯度是没什么直接的联系的。...