已知abc为正数,求证根号a2+b2+根号b2+c2+根号c2+a2大于根号2(a+b+c)

显示全部楼层 · 2011-7-22 14:02:41

2(a2+b2)>=a2+b2+2*a*b=(a+b)2 a2+b2>=(a+b)2/2√(a2+b2)>=√[(a+b)2/2]=(a+b)/√2
同理√(b2+c2)>=(b+c)/√2√(a2+c2)>=(a+c)/√2所以√(a2+b2)+√(b2+c2)+√(a2+c2)>=(a+b)/√2+(b+c)/√2+(a+c)/√2=2(a+b+c)/√2=√2(a+b+c)得证注意a=b=c时可...

千问 · 2011-7-22 14:02:41

将求证式两边平方得：(a^2+b^2)+(b^2+c^2)+(c^2+a^2)+2√[(a^2+b^2)(b^2+c^2)]+2√[(a^2+b^2)(c^2+a^2)]+√[(b^2+c^2)(c^2+a^2)]>2(a+b+c)^2由柯西不等式有：(a^2+b^2)(b^2+c^2)>=(ab+bc)^2，当且仅当a/b=b/c时取等号。同理，(...