ln[(1/2)^k+1]<(1/2)^k 其中k是正整数请验证这个不等式是否成立，若成立给出证明；若不成立说明理由

显示全部楼层 · 2011-7-27 18:32:27

望数学高手来解答下

千问 · 2011-7-27 18:32:27

成立的。用导数求解。将右边移到左边，构造一个函数f(x)=ln[]-（1/2)^k，对这个式子求导，发现为负值，也就是这个函数为减函数，则当k为1时最大，代入原函数中k为1，发现函数值为负，也就是原式成立，减一下小于零，则移项得证。化简技巧不介绍了。...

千问 · 2011-7-27 18:32:27

从数学分析的角度来看：ln[(1/2)^k+1] (1/2)^k+10有x+1(1+x)^(1/x)(1+1/x)^x <e -----很重要参考见我之前的答案...

千问 · 2011-7-27 18:32:27

证明：设f(k)=(1/2)^k - In[(1/2)^k + 1]
其导函数为f'(k)=[(1/2)^k]' - {In[(1/2)^k + 1]}'
=[(1/2)^k]' - 1/[(1/2)^k + 1] * [(1/2)^k + 1]'
...

ln[(1/2)^k+1]<(1/2)^k 其中k是正整数 请验证这个不等式是否成立，若成立给出证明；若不成立说明理由