椭圆4X2+9Y2=144内有一点P(3,2)过点p的弦恰好以p为中点，那么这弦所在直线的方程是什么

千问 · 2013-3-2 09:42:11

涉及到中点跟直线的问题。。就用著名的中点斜率转化法。。设两交点(x1,y1) (x2,y2) 但是设而不求 4X1^22+9Y1^2=144 4X2^2+9Y2^2=144 两式相减 4（X1-X2)(X1+X2)=-9(Y1-Y2)(Y1+Y2) 因为X1+X2=6 Y1+Y2=4 带入 （Y1-Y2）/（X1-X2）= -2/3 也就是斜率。。然后自己点斜式（Y-2）=-2/3（X-3）

千问 · 2013-3-2 09:42:11

千问 · 2013-3-2 09:42:11

千问 · 2013-3-2 09:42:11

千问 · 2013-3-2 09:42:11

楼主你好 这个题有两种方法。第一种就是设直线，与椭圆联立得到X1+X2，和Y1+Y2，又因为P是中点，由中点公式很容易得出K值，就能得到方程。
我还是想说第二种方法，简便。
点差法：设交与（x1，y1）和（x2，y2），两点都在椭圆上得到：
4（x1）2+9（y1）2=144，
4（x2）2+9（y2）2=144，
两式相减得到，4（x1）2+9（y1）2-4（x2）2-9（y2）2=0
平方差公式得到4（x1-x2）（x1+x2）+9（y1-y2）（y1+y2）=0
中点公式知x1+x2=2*3，y1+y2=2*2
得到24（x1-x2）-36（y1-y2）=0
k=y1-y2/x1-x2=-24/32=-2/3
y-2=-2/3*(x-3)
得到2x+3y-12=0

千问 · 2013-3-2 09:42:11

千问 · 2013-3-2 09:42:11

千问 · 2013-3-2 09:42:11

设直线方程为y-2=k(x-3)，代入椭圆方程，消去y得(4+9k2)x2+18(2-3k)x+9(2-3k)2-144=0 由韦达定理得18(2-3k)/(4+9k2)=-6，解得k=2/3 or k=5/3 注意：利用韦达定理达到“设而不求”，当然消去x解得的结果是一样的。