高一函数题，在线等

显示全部楼层 · 2009-7-17 16:46:55

已知f(x)定义在R上的函数，对于任意的实数a,b都有f(ab)=af(b)+bf(a)，且f(2)=1
(1)求f(0.5)的值。（2）求f(2^(-n))的解析式
为避免积分浪费，有好答案再追加20分
第1小问有人解出来了，第2小问谁解出来就给谁

千问 · 2009-7-17 16:46:55

1.f(1)=1*f(1)+1*f(1) ∴f(1)=0 ∴f(1)=0=f(0.5*2)=0.5f(2)+2f(0.5)所以f(0.5)=-1/42.f(2)=1
f(4)=4
f(8)=12
f(16)=32
猜想f(2^n)=n*2^(n-1) 下面咱用数学归纳法证明！f(2)=1奠基是显然的假设n=k时成立即f(2^k)=k*2^(k-1)当n=k+1时 f(2^(k+1))=f(2*2^K)=2f(2^K)+2^k*f(2)
=2*k*2^(k-1)+2^k*1
=k*2^k+2^k
=(k+1)*2^...

千问 · 2009-7-17 16:46:55

(1)f(2)=f(0.5×4)=0.5f(4)+4f(0.5)=1f(4)=f(2×2)=2f(2)+2f(2)=4,代入上式0.5×4+4f(0.5)=14f(0.5)=-1f(0.5)=-1/4(2)f[2^(-n)]=f(1/2^n)f(1/2)=-1/4对比可知f[2^(-n)]=-1/2^(n+1)...

千问 · 2009-7-17 16:46:55

(1) f(1)=0
f(1)=f(2*0.5)=2f(0.5)+0.5f(2)=0
f(0.5)=-1/4(2) f(2^(-n))=0.5*f(2^(-n+1))+2^(-n+1)*f(1/2)
令f(2^(-n))=An （n为下角标）
An=0.5An-1-1/4*2^(-n+1)...