关于求极限的问题

显示全部楼层 · 2009-7-26 21:04:20

我在计算一个极限的时候得到这样一个式子：x→0时,(xcosx-sinx)/x^3
我用三种做法做出来了2种不同的结果，请大家帮我看看我到底错在哪里了，我看了几天都不明白。
一：分子分母同时除以x。有(xcosx-sinx)/x^3=(cosx-(sinx/x))/x^2
=(cosx-1)/x^2=-0.5x^2/x^2=-0.5
二：零比零的极限，用罗比达法则，得到-xsinx/3x^2,等价无穷小替换，
得到答案-1/3
请问我的第一种解法错在哪里了？在于哪个知识点的理解不对？还有，在这个极限的计算中，第一步可以直接把cosx的极限=1代入吗？什么情况可以代入什么情况不能代入？谢谢！

千问 · 2009-7-26 21:04:20

cosx-(sinx/x)中间如果你直接把sinx/x用1代就可能出现问题。当x→0时，cosx→1，sinx/x也→1，2个趋于1的量相减是无穷小量。这就是第一种错误解法的根源所在。举个简单例子，{（1+x^2）-（1-x^2）}/x^2当x→0时，极限是2。但是如果按你前面的思路，当x→0时，直接用1代替1+x^2那就产生了谬误。什么情况下可以把cosx的极限=1代入？就是当cosx和量做加减乘除其中一种或多种运算时不会出现无穷大或无穷小量，你就可以这么干。打个比方，如果上式不是cosx-sinx/x而是cosx-2，那你完全可以用1代替cosx。最全面的说法，只有当需要用常数代替极限的部分与其他部分不产...

千问 · 2009-7-26 21:04:20

错在直接把sinx/x当成1，因为sinx/x/x^2的极限是无穷，所以不能直接化成两个极限相减，lim cosx =1 不能直接代入，只有它是单独的乘数或被除数才行，也就是不能是加数或减数...