利用极坐标计算下列二重积分

显示全部楼层 · 2009-2-7 22:16:58

(3) ∫∫（D为积分区域） √x^2+y^2 d〥, 其中积分区域D={(x,y)| x^2+y^2≤2y, x≥0};
拜托只要把开头的步骤写明白就可以了

千问 · 2009-2-7 22:16:58

x=rcosa,y=rsina,下面只需求出角度a和半径r的范围，根据积分区域D，把x，y带入那个不等式，得到：r*r≤2*rsina,两边约去r，得到r≤2sina,注意到x大于0这个条件，它约束了角度a的范围，所以新的积分区域：-PI/2≤a≤PI/2,0≤r≤2sina，这样就能把原来的二重积分化为累次积分原积分=∫da∫rdr,先计算∫rdr，下限为0，上限2sina，得2sina的平方，然后计算∫2sin^2ada,下限是-PI/2,上限是PI/2...

千问 · 2009-2-7 22:16:58

用圆坐标变换,设x=rcosθ,y=rsinθ则r^2≤2rsinθ,r≤sinθ代入积分算得I=∫(0~2π)dθ∫(0~sinθ)r^2dr再计算即可....

千问 · 2009-2-7 22:16:58

√x^2什么意思？是不是x的平方加上y的平方再开根号？x=ρcosα,y=ρsinαd〥=dxdy=ρdρdα因为x>=0所以α取值为[0,π/2]p=2sinα(这个只要一画图就明白了)所以∫∫（D为积分区域） √x^2+y^2 d〥就等于∫[0,π/2]d∫α[0,2sinα] (√ρ^2)*ρdρ明白了吗？...