关于证明f(x)=cosx在有定义的区间内连续

显示全部楼层 · 2013-11-16 17:05:24

大学文科数学的一道题，证明f(x)=cosx在有定义的区间内连续，其中
错证：在函数f(x)=cosx的定义域(-∞,+∞)内任取一点Xo

(x→Xo)因为limf(x)=limcosx=cosXo=f(Xo)

又由Xo的任意性，边证明了该函数在其定义区间内连续
错证分析：上述证明利用了连续函数取极限的法则，把结论当条件，把未知当已知，犯了逻辑错误。
它给出的正确解法是用△x、△y的方法，这里略。
我想问的是：另一道题lim(x^2-1)=Xo^2-1=f(Xo),(x→Xo)

为什么又可以直接将Xo代进去呢？两者有什么不同吗？

请详细讲解一下。我不用两道题的解题过程，只用写出为什么会有这样的区别就可以了。不胜感激~~~答得好一定追加~~~

千问 · 2013-11-16 17:05:24

因为~~~~证明y=x^2-1连续性时可以直接把Xo代进去是因为可以用ε-δ定义证明lim(x^2-1)=Xo^2-1(x→Xo),而并不是用了连续函数求极限的方法，所以就不存在结论当条件的问题。问题在于，我们并不能用ε-δ定义证明lim(cosx)=cosXo(x→Xo)啊，所以如果你直接把Xo代进去就是默认你利用了连续函数求极限的法则，所以是不正确的。如果不明白可以追问，很荣幸可以帮你解答^_^...

千问 · 2013-11-16 17:05:24

很简单，对于lim(x^2-1)=Xo^2-1=f(Xo),(x→Xo)，你用了函数f(x)=x^2-1的连续性，发现了吧。你没有证明这个函数是连续的你就将x0代进去了。应该大家都知道这个函数是连续的，不用证明。但如果说我要问你为什么x^2-1它是连续的，你怎么回答。同样只能根据定义去证明。回到f(x)=cosx，当然你只能根据定义去证明啦。...