已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t≤6

显示全部楼层 · 2009-4-5 22:47:04

貌似是题目错了只能证 t＜6

千问 · 2009-4-5 22:47:04

证：已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1 设X=√(3a+2),Y=√(3b+2),Z=√(3c+2) 则t=X+Y+Z X^2=(3a+2),Y^2=(3b+2),Z^2=(3c+2) X^2+Y^2+Z^2=(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=3*(a+b+c)+6=9 ∵（X-Y）^2≥0，（Y-Z）^2≥0，（X-Z）^2≥0 ∴2XY≤X^2+Y^2，2YZ≤Y^2+Z^2，2XZ≤X^2+Z^2 t=X+Y+Z t^2=X^2+Y^2+Z^2+（2XY）+（2YZ）+（2XZ） ≤X^2+Y^2+Z^2+（X^2+Y^2）+（Y^2+Z^2）+（X^2+Z^2） =3*（X^2+...

千问 · 2009-4-5 22:47:04

嘿嘿我也在找这题呢.谢谢啦...

千问 · 2009-4-5 22:47:04

汗数学忘光了。。。...

千问 · 2009-4-5 22:47:04

令x=√(3a+2) 3a=x^2-2 a=(x^2-2)/3 y=√(3b+2) b=(y^2-2)/3 z=√(3c+2) c=(z^2-2)/3 则a+b+c=(x^2+y^2+z^2-6)/3=1 x^2+y^2+z^2=9 t=x+y+z 由均值不等式知(x^2+y^2+z^2)/3>=[(x+y+z)/3]^2 故t^...