两道初中奥数求解

显示全部楼层 · 2009-4-16 17:00:08

注：一定要十分详细的过程，能看懂,否则不追加分
{1}设正整数n的不同约数的个数为N（n），判断N（1）+N（2）+。。。。+N（2005）的奇偶性
{2}把1，2，3，4。。。。1987这1987个数均匀的排成一个大圆圈，从1开始：隔过1划去2，3；隔过4划去5，6
以此类推，最后还剩下哪几个数？为什么？

千问 · 2009-4-16 17:00:08

1.我们先来考察N（n）的奇偶性：（1）.如果n是质数，无疑它的不同约数的个数为2，是个偶数；（2）.如果n是合数但非平方数，则它的不同约数的个数必然是成对的，因此也为偶数；（比如：12=1*12=2*6=3*4）（3）.如果n是平方数，则它的不同约数的个数必然是奇数。（如：9=3*3=1*9，其不同约数为1，3，9）又知，2005以内共有平方数44个，44个奇数的和为偶数，因此： N（1）+N（2）+。。。。+N（2005）为偶数。 2.根据题意，经过一轮筛选后，剩下的数为除以3余1的数。即：1，4，7，.....，1987。...