梯形的重心位置

显示全部楼层 · 2009-5-15 16:12:21

设梯形上底为AB，下底为CD，取AB中点P，CD中点Q，连PQ，在PQ上取G点，使PG+GQ=(AB+2CD)：(CD+2AB)，则点G为梯形的几何中心（重心）。
几何作法：
1）取AB中点P，CD中点Q，连PQ；
2）延长AB至E，使BE=CD；延长CD至F，使DF=AB；
3）连EF与PQ交于G。
则点G为梯形的几何中心（重心）。
如何证明它的正确性？

千问 · 2009-5-15 16:12:21

这个问题不难证明。你按照题目里的几何做法，画出图形，然后分析PEG和QFG这两个三角形，由于DE和FQ是平行的，那么角E=角F，又因为角DGE=角QGF（对顶角相等），容易证明三角形PEG和三角形QFG是相似的。那么根据相似三角形的性质，对应边成比例，所以有：PG：QG=PE：QF，而PE=PB+BE=AB/2+CD，QF=QD+DF=CD/2+AB，那么：PG：QG=（AB/2+CD）：（CD/2+AB）=(AB+2CD)：(CD+2AB)。得证...