如何证明：Pdx-Qdy为某函数全微分的充要条件是dQ/dx=dP/dy？

显示全部楼层 · 2009-5-6 06:44:51

如题，P(x,y),Q(x,y)在单连通区域D上具有一阶连续偏导。
注意是"Pdx-Qdy"，不是"Pdx+Qdy"
只要说明如何证充分性就可以了。偏导符号打不出，大家凑合看吧……

千问 · 2009-5-6 06:44:51

从后向前证明：偏Q/偏x=偏P/偏y(偏Q/偏x)·dx·dy=(偏P/偏y)·dx·dy∫∫(偏Q/偏x)·dx·dy=∫∫(偏P/偏y)·dx·dy分别交换积分顺序:∫[∫(偏Q/偏x)·dx]dy=∫[(偏P/偏y)·dy]dx∫Q(x,y)dy=∫P(x,y)dxQ(x,y)dy=P(x,y)dxPdx-Qdy=0...