同济高等数学第五版中关于二重积分的推导式：dσ=dxdy，书上提到在用平行于坐标中直线网线来划分区域D

显示全部楼层 · 2011-9-10 09:36:31

我不是这样理解的，是用元素法。直角坐标系下，积分变量只能是x,y，那就研究平面图形的面积dσ与dxdy的关系，或者增量△σ与△x△y的关系：用X=x，X=x+△x，Y=y，Y=y+△y分割区域，所得图形是矩形，面积△σ＝△x△y(近似值必须是△x,△y的线性函数)，所以dσ=dxdy。极坐标系下也是如此讨论，用ρ=常数，θ=常数的线分割区域。所得图形的面积是两个扇形的面积之差：△σ＝1/2(ρ+△ρ)^2△θ - 1/2ρ^2△θ ≈ ρ△ρ△θ，所以dσ=ρdρdθ...

千问 · 2011-9-10 09:36:31

解析：dσ=dxdy以先积y后积x为例，反之亦然
取划分小区域长度为dx则有矩形的宽度为dx高度为y1-y2的差值，从而构成了矩形的长和宽
两侧的边界点y1极限等于y2故而高度几乎为零，所以矩形面积为零，从而边界的矩形区域的极限为零。明白了么？...

千问 · 2011-9-10 09:36:31

因为那写小闭区域相对于矩形区域来说都是很小的而且是不可计量的，所以总体上积分就可以忽略。你这么想，把那个小区域看成一个小三角形。三角形的面积为1/2底乘高。底为两条分割线的距离。如果分割的很细的话，这个距离就是0相对于分割线的高度来说可以忽略。同样高就是分割后函数的微小差值也是0，所以三角形的面积都可以相对矩形条为0了，后面积分的时候当然可以忽略。别告诉我矩...

千问 · 2011-9-10 09:36:31

极坐标问题书上没有，相望大家给补充补充，另外应用极坐标解决二重积分问题的换元之后相当于把xy坐标分别用距原点距离和到x轴的逆时针角度来表示的。...