设A为n阶方阵，且A^k=0（k为正整数），则（）。

显示全部楼层 · 2011-10-22 18:39:11

n阶方阵在复数域上有几个特征值呢?一定是n个,因为特征多项式|aE-A|是关于a的n次多项式,必有n个根.总之,计入复根,则A必有n个特征值.接下来如果特征值是a,那么由定义定有AX=aX于是a^kX=A^kX由本题知a^kX=0是零向量,一个数a^k乘以非零向量x为0.则a^k=0,a必为0(意味着特征值不可能为其他值,只能为0,否则与a^kX=0是零向量矛盾).又A有n个特征值,所以n个特征值全是0.B选项说有一个是,那么其他的n-1个呢?由上边知,其他的也一定为零...

千问 · 2011-10-22 18:39:11

设a是A的任意一个特征值，则有向量X使得AX=aX则A^kX=0=A^{k-1}aX=a^{k-1}X由于X≠0，所以a^{k-1}=0，即a=0...

设A为n阶方阵，且A^k=0（k为正整数），则（ ）。

设A为n阶方阵，且A^k=0（k为正整数），则（）。