设A、B、C为三角形的三个内角，求证sin（A／2）×sin（B／2）×sin（C／2）≤1/8 !!!

显示全部楼层 · 2009-7-10 19:36:20

经典的三角变换题目不妨设α=A/2,β=B/2,γ=C/2α+β+γ=90,并且sinα,cosα,sinβ,cosβ,sinγ,cosγ均为正2sinαsinβsinγ=(cos(α-β)-cos(α+β))sinγ≤(1-cos(α+β)sinγ=(1-sinγ)sinγ=-(sinγ-1/2)^2+1/4≤1/4即sinαsinβsinγ≤1/8等号成立当且仅当α=β,sinγ=1/2,即α=β=γ=30,A=B=C=60原命题得证...

千问 · 2009-7-10 19:36:20

sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=sin(A/2)*sin(B/2)*sin(90-(A+B)/2)=sin(A/2)*sin(B/2)*cos(A/2+B/2)=sin(A/2)*sin(B/2)*(cos(A/2)*cos(B/2)-sin(A/2)*sin(B/2))=sin(A/2)*sin(B/2)*cos(A/2)...

千问 · 2009-7-10 19:36:20

sin（A／2），sin（B／2），sin（C／2）均大于0。由均值不等式xyz≤((x+y+z)/3)^3，当且仅当xyz相等时等号成立。将x=A/2，y=B/2，z=C/2带入该式子即可。（A=B=C=60度）...