数学高考基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性 ，互异性，无序性。集合元素的互异性：如： ， ，求 ； （2）集合与元素的关系用符号 ， 表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集
；正整数集
、
；整数集
；有理数集
、实数集
。（4）集合的表示法： 列举法 ，描述法 ，韦恩图。 注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ； ； （5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为 ，在讨论的时候不要遗忘了 的情况。如： ，如果 ，求 的取值。二、集合间的关系及其运算（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；
符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。（2） ； ；
（3）对于任意集合 ，则：① ； ； ；②
；
；
；
；③
；
；（4）①若 为偶数，则
；若 为奇数，则
；②若 被3除余0，则
；若 被3除余1，则
；若 被3除余2，则
；三、集合中元素的个数的计算： （1）若集合 中有 个元素，则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________，所有非空真子集的个数是
。（2） 中元素的个数的计算公式为：
；（3）韦恩图的运用：四、 满足条件 ， 满足条件 ，若
；则 是 的充分非必要条件 ；若
；则 是 的必要非充分条件 ；若
；则 是 的充要条件 ；若
；则 是 的既非充分又非必要条件 ；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的
；注意：“若 ，则 ”在解题中的运用，如：“ ”是“ ”的
条件。六、反证法：当证明“若 ，则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立，
步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个否定
正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个否定
二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：如：若 ， ；问： 到 的映射有
个， 到 的映射有
个； 到 的函数有
个，若 ，则 到 的一一映射有
个。函数 的图象与直线 交点的个数为
个。二、函数的三要素：
，
，
。相同函数的判断方法：①
；②
(两点必须同时具备)（1）函数解析式的求法：①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法： （2）函数定义域的求法：① ，则
；② 则
；③ ，则
；④如： ，则
；⑤含参问题的定义域要分类讨论；如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域。⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。如：已知扇形的周长为20，半径为 ，扇形面积为 ，则
；定义域为
。（3）函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。求下列函数的值域：① （2种方法）；② （2种方法）；③ （2种方法）；三、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）导数法（适用于多项式函数）复合函数法和图像法。应用：比较大小，证明不等式，解不等式。奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系。f(x) －f(-x)=0f(x) =f(-x)f(x)为偶函数；f(x)+f(-x)=0f(x) =－f(-x)f(x)为奇函数。判别方法：定义法， 图像法 ，复合函数法应用：把函数值进行转化求解。周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.应用：求函数值和某个区间上的函数解析式。四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数。如：把函数y＝f(2x)经过
平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （m，n）平移的意义。对称变换 y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称y=f(x)→y=－f(x) ,关于x轴对称y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数）伸缩变换：y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；如： 的图象如图，作出下列函数图象：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ；（8） ；（9） 。五、反函数：（1）定义：（2）函数存在反函数的条件：
；（3）互为反函数的定义域与值域的关系：
；（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 ，若有两解，要注意解的选择；②将 互换，得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。（5）互为反函数的图象间的关系：
；（6）原函数与反函数具有相同的单调性；（7）原函数为奇函数，则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数。如：求下列函数的反函数： ； ； 七、常用的初等函数：（1）一元一次函数： ，当 时，是增函数；当 时，是减函数；（2）一元二次函数：一般式： ；对称轴方程是
；顶点为
；两点式： ；对称轴方程是
；与 轴的交点为
；顶点式： ；对称轴方程是
；顶点为
；①一元二次函数的单调性： 当 时：
为增函数；
为减函数；当 时：
为增函数；
为减函数；②二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为 的形式，Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上，则 时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：在顶点处取得最大值，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得； 时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得； 有三个类型题型：(1)顶点固定，区间也固定。如： (2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外。(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数． ③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：根的情况
等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根充要条件 注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果，在令 和 检查端点的情况。（3）反比例函数： （4）指数函数： 指数运算法则：
；
；
。指数函数：y=
(a>o,a≠1)，图象恒过点（0，1），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和0o,a≠1) 图象恒过点（1，0），单调性与a的值有关，在解题中，往往要对a分a>1和00，则 。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变。②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。若 ，则 （当且仅当 时取等号）基本变形：①
；
；②若 ，则 ， 基本应用：①放缩，变形；②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小，和定积大。当 （常数），当且仅当
时，
；当 （常数），当且仅当
时，
；常用的方法为：拆、凑、平方；如：①函数 的最小值
。②若正数 满足 ，则 的最小值
。三、绝对值不等式：
注意：上述等号“＝”成立的条件； 四、常用的基本不等式：（1）设 ，则 （当且仅当
时取等号）（2） （当且仅当
时取等号）； （当且仅当
时取等号）（3） ；
；五、证明不等式常用方法：（1）比较法：作差比较： 作差比较的步骤：⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号。注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。（2）综合法：由因导果。（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证……只需证……，只需证……（4）反证法：正难则反。（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如： ； ⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如： ； ⑷利用常用结论：Ⅰ、 ；Ⅱ、；（程度大）Ⅲ、； （程度小）（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。如：已知 ，可设 ；已知 ，可设 ( )；已知 ，可设 ；已知 ，可设 ；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；六、不等式的解法： （1）一元一次不等式：Ⅰ、 ：⑴若 ，则
；⑵若 ，则
；Ⅱ、 ：⑴若 ，则
；⑵若 ，则
；（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零；注：要对 进行讨论：（5）绝对值不等式：若 ，则
；
；注意：(1).几何意义： ：
； ：
；(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若则
；②若 则
；③若 则
；(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；⑴
；⑵
；⑶
；⑷
；（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。（8）解含有参数的不等式： 解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 、 、 讨论。五、数列本章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习，并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 ，则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标.
①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解.（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析，将实际问题抽象化，转化为数学问题，再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.一、基本概念：1、 数列的定义及表示方法：2、 数列的项与项数：3、 有穷数列与无穷数列：4、 递增（减）、摆动、循环数列：5、 数列{an}的通项公式an：6、 数列的前n项和公式Sn:7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：8、 等比数列、公比q、等比数列的结构： 二、基本公式：9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 10、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d
an=ak+(n-k)d
(其中a1为首项、ak为已知的第k项)当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。11、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn= 当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。12、等比数列的通项公式： an= a1 qn-1
an= ak qn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1
(是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn=
Sn= 三、有关等差、等比数列的结论14、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。15、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则 16、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则 17、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。18、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列{an bn}、 、 仍为等比数列。20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。22、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)24、{an}为等差数列，则(c>0)是等比数列。25、{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c 1) 是等差数列。26. 在等差数列 中：（1）若项数为 ，则
（2）若数为 则，
，27. 在等比数列 中：（1） 若项数为 ，则
（2）若数为 则， 四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。28、分组法求数列的和：如an=2n+3n29、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n30、裂项法求和：如an=1/n(n+1)31、倒序相加法求和：如an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法：① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3②
(an>0) 如an= ③ an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an= 33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：(1)当>0,d0时，满足
的项数m使得 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。六、平面向量1．基本概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。2． 加法与减法的代数运算：(1) ．(2)若a=（ ）,b=（ ）则a b=（ ）．向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = － 且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．向量加法有如下规律： ＋ = ＋ (交换律);
+( +c)=( +)+c
（结合律）;+0=
＋(－ )=0.3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。(1)｜｜=｜ ｜·｜ ｜;(2) 当 ＞0时，与 的方向相同；当 ＜0时，与 的方向相反；当 =0时，=0．(3)若 =（ ），则 · =（ ）．两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b=．(2) 若 =（ ）,b=（ ）则 ‖b ．平面向量基本定理：若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+e2．4．P分有向线段 所成的比：设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 =， 叫做点P分有向线段 所成的比。当点P在线段 上时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；分点坐标公式：若 =； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则
（ ≠－1）， 中点坐标公式：．5． 向量的数量积：（1）．向量的夹角：已知两个非零向量 与b，作 = ,=b,则∠AOB=（ ）叫做向量 与b的夹角。（2）．两个向量的数量积：已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．（3）．向量的数量积的性质：若 =（ ）,b=（ ）则e· = ·e=｜ ｜cos (e为单位向量); ⊥b·b=0（ ，b为非零向量）;｜ ｜= ;cos = = ．(4) ．向量的数量积的运算律： ·b=b· ;()·b= ( ·b)= ·( b);( ＋b)·c= ·c+b·c．6.主要思想与方法：本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。七、立体几何1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。能够用斜二测法作图。2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法?
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