已知n,k均大于1 的整数，求证：1+1/2k次方+1/3k次方+…..+1/nk次方 ﹤2

显示全部楼层 · 2011-11-1 21:38:56

这题要用放缩法结合数学归纳法证明，证明如下：(1)当k=2时，原式左边=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2而注意到1/n^2=2)于是1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n=2-1/n<2即当k=2时结论显然成立。(2)假设k=x时结论1+1/2^x+1/3^x+...+1/n^x<2成立。则当k=x+1时，注意到此时有y原式左边=1+1/2^(x+1)+1/3^(x+1)+...+1/n^(x+1)而由于n是大于等于2的整数，于是显然有从第二项开始i^(x+1)<i^x,(i=2,3,...,n),即1...

千问 · 2011-11-1 21:38:56

k≥2,所以左边≤1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2；又因为1/n^2<1/（n-1）n，（n≥2）；这样，1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2
<1+1/(1*2)+1/(2*3)···+1/(n-1)n
=1+1-1/2+1/2-1/3····+1/(n-1)-1/n ...

千问 · 2011-11-1 21:38:56

利用放缩原理：1+1/2k次方+1/3k次方+…..+1/nk次方< 1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/2的(n-1)次方< 2...